Finite Mathematik Beispiele

$x^{4} (1 - 3 x) (5 x + 2) > 0$

Schritt 1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{4} = 0$

$1 - 3 x = 0$

$5 x + 2 = 0$

Schritt 2

Setze $x^{4}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $x^{4}$ gleich $0$ .

$x^{4} = 0$

Schritt 2.2

Löse $x^{4} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{4}$ um.

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Schritt 2.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3

Setze $1 - 3 x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $1 - 3 x$ gleich $0$ .

$1 - 3 x = 0$

Schritt 3.2

Löse $1 - 3 x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x = - 1$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = - 1$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = - 1$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 4

Setze $5 x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $5 x + 2$ gleich $0$ .

$5 x + 2 = 0$

Schritt 4.2

Löse $5 x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = - 2$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 2$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 2$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{5}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{5}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{4} (1 - 3 x) (5 x + 2) > 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{1}{3}, - \frac{2}{5}$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{2}{5}$

$- \frac{2}{5} < x < 0$

$0 < x < \frac{1}{3}$

$x > \frac{1}{3}$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{2}{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{2}{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 7.1.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 3)}^{4} (1 - 3 \cdot - 3) (5 (- 3) + 2) > 0$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite $- 10530$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{2}{5} < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{2}{5} < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 0.2$

Schritt 7.2.2

Ersetze $x$ durch $- 0.2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 0.2)}^{4} (1 - 3 \cdot - 0.2) (5 (- 0.2) + 2) > 0$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $0.00256$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 7.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{1}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{1}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.17$

Schritt 7.3.2

Ersetze $x$ durch $0.17$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0.17)}^{4} (1 - 3 \cdot 0.17) (5 (0.17) + 2) > 0$

Schritt 7.3.3

Die linke Seite $0.00116637$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 7.4

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{1}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{1}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 7.4.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(3)}^{4} (1 - 3 \cdot 3) (5 (3) + 2) > 0$

Schritt 7.4.3

Die linke Seite $- 11016$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 7.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{2}{5}$ Falsch

$- \frac{2}{5} < x < 0$ Wahr

$0 < x < \frac{1}{3}$ Wahr

$x > \frac{1}{3}$ Falsch

$x < - \frac{2}{5}$ Falsch

$- \frac{2}{5} < x < 0$ Wahr

$0 < x < \frac{1}{3}$ Wahr

$x > \frac{1}{3}$ Falsch

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- \frac{2}{5} < x < 0$ oder $0 < x < \frac{1}{3}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- \frac{2}{5} < x < 0 or 0 < x < \frac{1}{3}$

Intervallschreibweise:

$(- \frac{2}{5}, 0) \cup (0, \frac{1}{3})$

Schritt 10